[huáng jīn fēn gē]

黄金分割

(黄金比例)

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黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割。[1]
据说在古希腊,有一天毕达哥拉斯走在街上,在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听,于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律,这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。[2]
《学姐知道》第六集

为什么我们都觉得这样这样这样的脸更美?而不是那样那样那样的?学姐悄悄过来告诉你,就是因为这些美丽的脸庞,更接近“黄金分割”!
中文名
黄金分割
外文名
golden section
别 称
中末比 神圣比
表达式
a:b=(a+b):a
提出者
毕达哥拉斯
提出时间
公元前5世纪
应用学科
数学 建筑 绘图
记载著作
几何原本

数学定义 编辑

把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值,则这个比值即为黄金分割。其比值是(√5-1):2,近似值为0.618,通常用希腊字母Ф表示这个值。[1]
附:黄金分割数前面的32位为:0.6180339887 4989484820 458683436565
设一条线段AB的长度为a,C点在靠近B点的黄金分割点上,且AC为b,则a比b就是黄金数

  
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尺规作图 编辑

1、设已知线段为AB,过点B作BD⊥AB,且B
图示 图示
D=AB/2
2、连结AD
3、 以D为圆心,DB为半径作弧,交AD于E
4、以A为圆心,AE为半径作弧,交AB于C,则点C即为黄金分割点[3]
在一个黄金矩形中,以一个顶点为圆心,矩形的较短边为半径作一个四分之一圆,交较长边于一点,过这个点,作一条直线垂直于较长边,这时,生成的新矩形仍然是一个黄金矩形,这个操作可以无限重复,产生无数个的黄金矩形[3]

推广拓展 编辑

分数与根式

为黄金比,便有
。然后有
,得
。对等式右边分母中的
又以
代替,可得
;以此类推,可得无穷连分数。对等式进行类似的代替,可得无穷连根号。[4]

特殊的数列

设一个数列,它的最前面两个数是1、1,后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144·····这个数列为“斐波那契数列”,这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,而黄金分割是无理数,所以只是不断逼近黄金分割。[5]

黄金三角形

所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其底与腰的长度比为黄金比值,正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度(即2*sin(π/10))。
将一个正五边形的所有对角线连接起来,在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的,所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。[6]

发展简史 编辑

黄金分割最早记录在公元前6世纪,关于黄金分割比例的起源大多认为
毕达哥拉斯 毕达哥拉斯
来自毕达哥拉斯学派。公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。公元前300年左右欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著。[2]
中国也有黄金分割的相关记载,虽然没有古希腊的早,但中国的算法是由中国古代数学家自己独立创造的,后传入了印度。黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲。经考证,欧洲的比例算法是源于中国而不是直接从古希腊传入的。[2]

应用实例 编辑

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例。[4]
 画家们发现,按0.618:1来设计的比例,画出的画最优美,在达·芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。而现今的女性,腰身以下的长度平均只占身高的0.58,因此古希腊的著名雕像断臂维纳斯太阳神阿波罗都通过故意延长双腿,使之与身高的比值为0.618。建筑师们对数字0.618特别偏爱,无论是古埃及金字塔,还是巴黎的圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,希腊雅典巴特农神庙,都有黄金分割的足迹。[4]
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参考资料
  • 1. 司志本.黄金分割——神圣的分割{J}.湖南第一师范学报.2003(1):60
  • 2. 张媛.美妙的“黄金分割”.安徽电子信息职业技术学院学报[J].2006(04):32-35
  • 3. 汪杰良.黄金分割与几何、三角、代数的美妙联系[J].教育纵横.2014(1):67
  • 4. 张雄.黄金分割的美学意义及其应用[J].陕西教育学院学报.1999(11).62-63
  • 5. 方海泉、 周铁军、 桑宝祥、 李伟.对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一[j].数学理论与应用.2009(4):11-13
  • 6. 孙露.正五边形与黄金分割的关系[J].初中数学教与学.2008(09):41
  • 7. 欧几里得.《几何原本》.第二卷第11个命题
  • 8. 蒋谦、 李思孟.简论中国古代数学中的“黄金分割率”[J].自然辩证法研究.2003(11):25-28
词条标签:
理学 数学